Componentes conexas por caminos

Sea $(X, T)$ un espacio topológico. Definimos la siguiente relación de equivalencia en $X$ :
$p \sim q$ si existe un camino uniendo $p y q$ . Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas por caminos de $X$ .

Propiedades

Las componentes conexas por caminos de $X$ forman una partición de $X$ en subespacios conexos por caminos maximales y cualquier subespacio conexo por caminos de $X$ está totalmente contenido en una componente conexa por caminos.
$X$ es conexo por caminos si, y sólo si, tiene una única componente conexa por caminos.
Toda componente conexa por caminos de $X$ está contenida en una componente conexa de $X$ .
Las componentes conexas por caminos son invariantes por homeomorfismos.